OPERACIONES
ARITMÉTICAS

Producto, Potencia, Hiperpotencia, División, Raíz, Logaritmo

“La aritmética no habla acerca de números, sino que trabaja con números” (Witgenstein. Investigaciones Filosóficas)


Suma Repetitiva (Producto)

Semántica y sintaxis

La expresión x+x+...+x (n sumandos), en donde n es un número natural, es una suma repetitiva y se evalúa como n*x. A su vez, n*x representa a x+x+...+x (n sumandos).

Cuando x es un número real, la operación es el producto de x por n.


Definiciones

Reducción:
⟨( +⊣( x★n ) = n*x ) )⟩

Representación:
⟨( n*x =: (x ←' n>1 → (x + (n−1)*x) )⟩


Ejemplos
  1. a+a+a // ev. 3*a
  2. 3*a // rep. a+a+a

Propiedades
  1. ⟨( 1*x = x )⟩

  2. ⟨( (n*x + n*y) = n*(x+y) )⟩
    ⟨( (n*x − n*y) = n*(x−y) )⟩

  3. ⟨( (n1*x + n2*x) = (n1+n2)*x )⟩
    ⟨( (n1*x – n2*x) = (n1−n2)*x )⟩

  4. ⟨( 0*x ≡ (n−n)*x ≡ (n*x − n*x) = 0 )⟩

Observaciones
Producto Repetitivo (Potencia)

Sintaxis y semántica

La expresión x*x*...*x (n factores), en donde n es un número entero positivo, es un producto repetitivo y se evalúa como x^n. A su vez, x^n representa a x*x*...*x (n factores).

Cuando x es un número, la operación se denomina “potencia de base x y exponente n”.


Definiciones

Reducción:
⟨( *⊣( x★n ) = x^n ) )⟩

Representación:
⟨( x^n =: (x ←' n>1 → (x * x^(n−1)) )⟩


Ejemplos
  1. a^3 // rep. a*a*a
  2. a*a*a // ev. a^3

Propiedades
  1. ⟨( x^1 = x )⟩
    ⟨( 1^n = 1 )⟩

  2. ⟨( (x^n1)*(x^n2) = x^(n1+n2) )⟩

  3. ⟨( (x^n1)÷(x^n2) = x^(n1−n2) )⟩

  4. ⟨( x^0 ≡ x*(n−n) ≡ (x^n)÷(x^n) = 1) )⟩

  5. ⟨( (0^n = 0) )⟩

  6. ⟨( x^n)*x = x^(n+1) )⟩

  7. ⟨( x^n)÷x = x^(n−1) )⟩

Observaciones
Potencia Repetitiva (Hiperpotencia)

Una potencia repetitiva es una potencia de orden superior, que podemos denominar hiperpotencia.

Supongamos que queremos representar la expresión

(((x^x)^x)^x^...) (n veces x)

Vamos a especificar esta expresión para los casos n=1, 2, 3, etc. hasta llegar al caso general.

n=2) x^x eq. ^⊣( x★2 )
n=3) (x^x)^x eq. ^⊣( x★3 )
n=4) ((x^x)^x)^x eq. ^⊣( x★4 )

En general, se tiene la expresión ^⊣( x★n ), donde la evaluación se realiza desde la izquierda.

En cambio, la expresión

(x^(x^(x^(x^...)))) (n veces x)

se especificaría mediante la expresión (^⊣( x★n ))∼, con la evaluación empezando por la derecha. Por ejemplo, para n = 4, se tiene x^(x^(x^x)).

Utilizando la notación ⟨( x(^^)n =: ^⊣( x★n ) )⟩, los dos tipos de hiperpotencias son:

x(^^)n (evaluación por la izquierda)
(x(^^)n)∼ (evaluación por la derecha)


Hiperpotencias de orden superior

Utlizando la notación general: ^^ para la hiperpotencia de orden 1, ^^^ para la hiperpotencia de orden 2, etc., tenemos la definición general:

Evaluación por la izquierda:

⟨( (x ( ^★k ) n) = (^★(k−1) )⊣( x★n ) )⟩

Evaluación por la derecha:

⟨( (x ( ^★k ) n)∼ = ((^★(k−1) )⊣( x★n ))∼ )⟩

Ejemplos:
  1. (x ^^ 4) = x^x^x^x = ((x^x)^x)^x

  2. (x ^^^ 4) = (x ^^ x ^^ x^^ x) = (((x ^^ x) ^^ x) ^^ x)

  3. (2 ^^^ 3) = (2 ^^ 2 ^^ 2) = (((2 ^^ 2) ^^ 2) = (2^2)^(2^2) = 4^4 = 256

Operaciones Aritméticas Contrarias: División, Raíz, Logaritmo

Multiplicación contraria

De acuerdo con la hiper-semántica,

⟨(x(*')y = z) ★ (x = z*y)⟩ ⟨(x('*)y = z) ★ (x = y*z)⟩

El operador *' se simboliza también como ÷, y es la operación de división.

Ejemplos:
  1. 21.(*')3 // ev. 21.÷3 ev. 7
    21.('*)3 // ev. 7

  2. x = 3*a
    x(*')a // ev. x÷a ev. 3
    x('*)3 // ev. x÷3 ev. a
Propiedades:
  1. Hiper-semántica.

    ⟨( (x*y)(*')y = x )⟩
    ⟨( (x*y)('*)x = y )⟩

  2. En el caso de que x e y sean números, la multiplicación contraria a la derecha y a la izquierda son iguales:

    ⟨( x(*')y ≡ x('*)y )⟩

  3. ⟨( x÷x ≡ (1*x)(*')x = 1 )⟩

  4. ⟨( x÷1 ≡ (1*x)(*')1 = x )⟩

  5. ⟨( (x+y)÷z ≡ (x÷z + y÷z) )⟩

  6. ⟨( x*(y÷z) ≡ (x*y)÷z )⟩

  7. ⟨( 0÷x ≡ (y−y)÷x = (y÷x − y÷x) = 0 )⟩

Potencia contraria (raíz y logaritmo)

De acuerdo con la hiper−semántica, hemos visto en la operación genérica “Contraria”:

x(^')y es y√x
x('^)y es logyx
⟨( x((^')')y ≡ x^y )⟩ // x^y
⟨( x('(^'))y ≡ y('^)x )⟩ // logxy
⟨( x(('^)')y ≡ y^x )⟩ // y^x
⟨( x('('^))y ≡ y(^')x )⟩ // x√y

Propiedades:
  1. ⟨( x(^')1 = x )⟩

  2. ⟨( x('^)x = 1 )⟩
    pues logxx = 1

  3. ⟨( 1('^)x = 0 )⟩
    pues logx1 = 0

  4. ⟨( (x^y)('^)x = y )⟩
    pues logx(x^y) = y

  5. ⟨( (x^y)(^')y = x )⟩

  6. ⟨( (x^y)('^)y ≡ y*(x('^)y) )⟩
    pues logy(x^y) = y*logyx

  7. ⟨( (y^z)('^)x ≡ z*(y('^)x) )⟩
    pues logx(y^z) = z*logxy

Operaciones aritméticas según los números sean enteros o reales

La regla es: Por ejemplo, en la división entera n1÷n2, el resultado es un número entero.

El resto de la división es:
(n1 – (n1÷n2)*n2)

División real: (r1÷r2). El resultado es un número real.

Conversión a entero: (n = r).

Conversión a real: (r = n.).
La variable entera n se convierte en real añadiéndole un punto decimal a la derecha.

Ejemplos:
  1. (n = 13)
    n÷2 // ev. 6
    n.÷2 // ev. 6.5 (la operación se realiza en real)
    (13 – (13÷2)*2) // ev. 1 (resto de la división)

  2. (n = 13.8) // conversión a entero
    n // ev. 13

  3. 2(^')2 = 1 // raíz cuadrada de 2 (operación en entero)
    2.(^')2 = 1.4142 // raíz cuadrada de 2 (operación en real)
    2(^')2 = 1 // logaritmo en base 2 de 2 (operación en entero)
    2(^')2. = 1. // logaritmo en base 2 de 2 (operación en real)

Hiperpotencias contrarias

Vamos a utilizar las notaciones siguientes:

Hiperpotencia contraria a la derecha de orden k:

⟨( ((x ( ^★k )' y) = z) ← (x ( ^★k ) z) = y) )⟩

Hiperpotencia contraria a la izquierda de orden k:

⟨( ((x '( ^★k ) y) = z) ← (x ( ^★k ) z) = x) )⟩

Una notación más simple se consigue utilizando las definiciones siguientes:

(v =: ^') (v' =: '^)

⟨( (v★k ) =: (^★k )' )⟩ // hiperpotencia contraria a la derecha

⟨( (v★k )' =: '( ^★k ) )⟩ // hiperpotencia contraria a la izquierda

Ejemplos:
  1. (xv2) // raíz cuadrada de 2
  2. (x v' 2) // logaritmo de 2
  3. (x vv 2) // hiperpotencia inversa a la derecha
  4. (x vv' 2) // hiperpotencia inversa a la izquierda